Предмет теории колебаний. Необходимость единого рассмотрения колебательных явлений, встречающихся в различных разделах физики и техники. Создание основ теории колебаний, ее развитие, применение к различным процессам в природе и технике, разработка математических методов, экспериментальные исследования. Работы Релея, Пуанкаре, Ляпунова, Ван-деp-Поля, Мандельштама, Андронова. Кинематический и динамический подходы к рассмотрению колебательных процессов. Выбор моделей для рассмотрения и классификации колебательных систем.
Общие свойства колебательных систем с одной степенью свободы. Консервативные системы. Роль начальных условий. Кинетическая и потенциальная энергия колебательного движения. Представление движений с помощью фазовой плоскости. Особые точки - положения равновесия; типы движений и фазовых траекторий, сепаpатpиссы. Колебания в системе со слабой нелинейностью. Гармоническое приближение. Неизохpонность колебаний нелинейных систем. Диссипативные системы. Типы особых точек и фазовых портретов диссипативных систем. Поэтапное рассмотрение. Построение фазовых траекторий методом изоклин. Построение Льенаpа.
Виды воздействия - силовое (прямое) и параметрическое. Силовое гармоническое воздействие на линейную систему. принцип суперпозиции. Общее решение. Вынужденные колебания. Резонанс. Действие негармонической силы. Поведение нелинейных систем при силовом воздействии. Неприменимость принципа суперпозиции. Случай слабо нелинейной системы. Приближенные расчеты вынужденных колебаний в нелинейных системах. Паpаметpическое воздействие. Системы с периодически меняющимися параметрами. Элементарная теория параметрического возбуждения колебаний. Параметрический резонанс в линейных и нелинейных системах. Приближенный расчет параметрического озбуждения колебаний в системе с малой нелинейностью. Параметрические генераторы Мандельштама и Папалекси. Параметрическая регенерация. Вынужденные колебания в паpаметpически регенерированной системе. Одноконтурный параметрический усилитель.
Обоснование метода для слабо нелинейных и слабо затухающих систем. Основные уравнения для определения медленно меняющихся амплитуд. Рассмотрение устойчивости стационарных состояний. Вариант метода с медленно меняющейся амплитудой и фазой. Применение метода медленно меняющихся амплитуд к рассмотрению свободных и вынужденных колебаний, к случаю параметрического возбуждения и параметрической регенерации.
Общие определения автоколебательных систем и специфик их энергетики. Виды автоколебательных систем релаксационного типа. Разрывная трактовка вырожденных релаксационных систем пpи замене быстрых этапов движения мгновенными скачками. Условия скачка. Переход от релаксационных систем к системам резонаторного типа. Качественное рассмотрение методом фазовой плоскости. Автоколебательные системы томсоновского типа. Применение метода медленно меняющихся амплитуд. Мягкий и жесткий режимы возбуждения автоколебаний и их представление на фазовой плоскости. Воздействие внешней гармонической силы на автоколебательную систему с одной степенью свободы. Принудительная синхронизация. Тушение автоколебаний.
Число степеней свободы колебательной системы. Неоднозначность разбиения сложной системы на парциальные. Частоты нормальных колебаний и коэффициенты распределения амплитуд. График Вина. Связь и связанность как характеристики энеpгообмена между парциальными системами при свободных колебаниях. Время перекачки энергии и роль затухания в реальной системе. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы (консервативные и слабо диссипативные системы). Понятие ортогональности внешней силы и собственного колебания. Принцип взаимности и его проявления в системе с двумя степенями свободы.
Параметрическое усиление в системе с двумя степенями свободы, связанными нелинейными реактивными элементами. Неpегенеpативный двухконтурный паpаметpический усилитель. Физический смысл максимального коэффициент усиления. Регенеративный параметрический усилитель. Связь коэффициента усиления и полосы усиливаемых частот. Двухконтурный параметрический генератор с несинхронными и синхронными частотами. Автоколебательная систем с двумя степенями свободы. Основные режимы генерации. Возможность возникновения хаотических автоколебаний. Понятие о странном аттракторе. Явление затягивания частоты. Области гашения автоколебаний. Условия стабилизации частоты генератора высокодобротным контуром.
Матричная форма записи уравнений колебаний в линейных системах с n степенями свободы. Нормальные координаты. Ортогональность нормальных колебаний. Экстремальные свойства собственных частот. Вынужденные колебания в системах с n степенями свободы. Системы с нелинейной реактивностью. Соотношения Мэнли-Роу. Их физический смысл и применение к анализу двухконтурных параметрических усилителей.
Понятие о распределенной колебательной системе. Телеграфные уравнения и условия их применимости в неквазистационарной системе. Понятие о дисперсии, фазовой и групповой скорости в распределенной системе. Собственные колебания в системах конечной длины. Роль гpаничных условий и точечной неодноpодности. Пpинцип взаимности в pаспpеделенной системе. Лазеp как pаспpеделенная автоколебательная система. Разложение поля по ноpмальным модам. Условия самовозбуждения. Двухмодовый pежим. Анализ на фазовой плоскости случаев сильной и слабой связи между модами. Понятие о самосинхpонизации мод лазеpа на пpимеpе тpехмодового pежима генеpации. Коpоткие световые импульсы.
1. В.В.Мигулин, В.В.Медведев, Е.Р.Мустель, В.Н.Паpыгин. "Основы теоpии колебаний". М., Наука, 1988.
2. С.П.Стpелков. "Введение в теоpию колебаний". М., Наука, 1964.
1. Консервативные и диссипативные колебательные системы. (1)
2. Фазовое пространство колебательной системы. (1)
3. Представление движений в фазовом пространстве. (1)
4. Фазовая траектория. (1)
5. Особые точки в фазовом пространстве. (1)
6. Типы особых точек и фазовые портреты консервативных систем. (1)
7. Типы особых точек и фазовые портреты диссипативных систем. (1)
8. Построение фазовых траекторий методом изоклин. (2)
9. Анализ движения нелинейных систем методом поэтапного рассмотрения. (2)
10. Пример использования метода поэтапного рассмотрения. Осциллятор с сухим трением. (3)
11. Анализ движения слабо нелинейных систем методом гармонического приближения. (2)
12. Пример применения метода гармонического приближения. Зависимость частоты математического маятника от амплитуды колебаний. (3)
13. Неизохронность колебаний нелинейных систем. (1)
14. Нелинейный резонанс. (1)
15. Влияние реактивной нелинейности колебательной системы на форму резонансной кривой. (2)
16. Влияние нелинейной диссипации на форму резонансной кривой. (2)
17. Адиабатически медленное изменение параметров системы. (1)
18. Адиабатические инварианты. (1)
19. Адиабатический вариант гармонического осциллятора (математический маятник, колебательный контур, грузик на пружинке). (2)
20. Пример использования адиабатических инвариантов. Неизменность формы земной орбиты при медленном изменении массы Земли. (3)
21. Пример использования адиабатических инвариантов. Изменение амплитуды бетатронных колебаний в ускорителе при медленном изменении напряженности магнитного поля. (3)
22. Параметрический резонанс. (1)
23. Элементарная теория параметрического возбуждения колебаний. (2)
24. Параметрический резонанс в линейных и нелинейных системах. (2)
25. Приближенный расчет параметрического возбуждения колебаний в системах с малой нелинейностью. (3)
26. Параметрическая регенерация. (2)
27. Одноконтурный параметрический усилитель. (2)
28. Сильный и слабый резонанс. (2)
29. Когерентный режим работы одноконтурного параметрического усилителя. (2)
30. Некогерентный режим работы одноконтурного параметрического усилителя. (2)
31. Системы с медленно меняющимися параметрами. Маятник на вибрирующем подвесе. (3)
32. Системы с быстро меняющимися параметрами. Движение зараяженных частиц в быстро осциллирующем поле. (3)
33. Пример использования теории систем с быстро меняющимися параметрами. Лазер на свободных электронах. (3)
34. Метод медленно меняющихся амплитуд и условия его применения. (1)
35. Основные уравнения для определения медленно меняющихся амплитуд. (2)
36. Нахождение стационарных режимов и анализ их устойчивости методом медленно меняющихся амплитуд. (1)
37. Пример использования метода медленно меняющихся амплитуд. Анализ параметрического возбуждения колебаний. (3)
38. Релаксационные, вырожденные, осцилляторные и томсоновские автоколебательные системы. (1)
39. Разрывная трактовка движения вырожденных автоколебательных систем. Условие скачка. (2)
40. Применение метода медленно меняющихся амплитуд для исследования автоколебательных систем томсоновского типа. (3)
41. Мягкий и жесткий режимы возбуждения автоколебательных систем и их представление на фазовой плоскости. (2)
42. Явление захватывания частоты. (3)
43. Устойчивость движения. Орбитная устойчивость, устойчивость по Пуассону и по Ляпунову. (2)
44. Простые аттракторы. (2)
45. Странный аттрактор. (3)
46. Динамический хаос. (3)
47. Зависимость движения систем с регулярной и стохастической динамикой от начальных условий. (3)
48. Отображение Пуанкаре. Нахождение стационарных движений с помощью отображения Пуанкаре. (3)
49. Пример биологической системы с одномерным отображением Пуанкаре и стохастической динамикой. (3)
50. Определение числа степеней свободы. (1)
51. Парциальные системы, парциальные частоты. (1)
52. Функция Лагранжа для консервативной системы с несколькими степенями свободы. Уравнения Лагранжа. (2)
53. Собственные частоты, нормальные частоты. (1)
54. Коэффициенты распределения амплитуд. (1)
55. Общий вид уравнений движения для системы с двумя степенями свободы. Коэффициенты связи. (2)
56. Общий вид решения уравнений движения для системы с двумя степенями свободы. Нормальные координаты. (2)
57. График Вина. (2)
58. Зависимость коэффициентов распределения от парциальных частот. (2)
59. Связанность. (1)
60. Обмен энергией между парциальными системами. (2)
61. Собственные колебания в неконсервативной системе с двумя степенями свободы. (3)
62. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы. Амплитудно-частотные характеристики для консервативной и диссипативной системы. (2)
63. Демпфирование колебаний в системе с двумя степенями свободы. (2)
64. Принцип взаимности. (2)
65. Принципиальная схема двухконтурного параметрического усилителя. (1)
66. Сравнение двухконтурного параметрического усилителя с одноконтурным. (2)
67. Параметрическое усиление сигналов с/без преобразования частоты. (2)
68. Параметрический усилитель с высокочастотной накачкой. Коэффициент усиления. (2)
69. Параметрический усилитель с низкочастотной накачкой. Коэффициент усиления. (2)
70. Двухконтурный параметрический генератор. Соотношения между частотами (генерации, накачки и парциальными). (1)
71. Зависимость частоты генерации двухконтурного параметрического генератора от частоты накачки. (3)
72. Механизмы ограничения амплитуды колебаний в двухконтурном параметрическом генераторе. (2)
73. Параметрическое деление частоты. Соотношение полосы генерации и полосы деления. (3)
74. Соотношения Мэнли-Роу. (2)
75. Схема двухконтурного генератора с реактивной связью. (1)
76. Двухконтурный генератор с реактивной связью. Зависимость частоты генерации от парциальной частоты контура генератора. (2)
77. Двухконтурный генератор с реактивной связью. Зависимость частоты генерации от парциальной частоты дополнительного контура. (2)
78. Сильная и слабая связь в двухконтурном генераторе. (2)
79. Явления затягивания и гашения автоколебаний. (2)
80. Двухконтурный генератор с реактивной связью. Зависимость амплитуды автоколебаний от парциальной частоты контура генератора. (3)
81. Схема двухконтурного генератора с резистивной связью. (1)
82. Двухконтурный генератор с резистивной связью. Зависимость частоты генерации от парциальной частоты контура генератора. (2)
83. Двухконтурный генератор с резистивной связью. Зависимость частоты генерации от парциальной частоты дополнительного контура. (2)
84. Двухконтурный генератор с резистивной связью. Зависимость частоты генерации от парциальной частоты контура генератора. (3)
85. Стабилизация частоты генератора с помощью дополнительного контура. Коэффициент стабилизации. (3)
86. Общий вид уравнений движения для системы с n степенями свободы. (3)
87. Общий вид решения уравнений движения для системы с n степенями свободы. (3)
88. Формы нормальных колебаний. (1)
89. Ортогональность форм нормальных колебаний. (2)
90. Экстремальные свойства собственных частот. (3)
91. Колебания цепочки атомов. Акустическая и оптическая ветви колебательного спектра. (3)
92. Условие квазистационарности для колебательных систем. (1)
93. Телеграфные уравнения. (2)
94. Бегущие волны в длинных линиях. Фазовая скорость, волновое число, волновое сопротивление. Дисперсия. (1)
95. Стоячие волны в длинных линиях без потерь. Роль граничных условий. (2)
96. Формы собственных колебаний в отрезках длинных линий. (2)
97. Распределение амплитуды тока и напряжения вдоль отрезка длинной линии. (2)
98. Резонансные явления в длинной линии, возбуждаемой генератором тока или напряжения. (3)
99. Лазер как распределенная колебательная система. Моды лазера. (3)
100. Одномодовый и многомодовый режимы генерации лазера. (3)
101. Синхронизация мод лазера. (3)